Movimiento parabólico

Estudio del tiro parabólico u oblicuo

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Índice

El movimiento parabólico1 surge de la composición de:

  • Un MRU horizontal con velocidad $\vec v_x = v_x \hat{\imath}$ constante.
  • Un MRUV vertical con velocidad inicial $\vec v_{0y} = v_{0y} \hat{\jmath}$ hacia arriba. La aceleración $\vec g=-g\hat{\jmath}$ apunta hacia abajo2.

La figura 1 muestra el esquema de un tiro parabólico, con un proyectil lanzado desde una altura $h$ con una velocidad inicial $\vec v_0 = v_x \hat{\imath} + v_{0y}\hat{\jmath}$ que forma un ángulo $\alpha_0$ con la horizontal.

Esquema de un tiro parabólico. Un proyectil es lanzado desde una altura $h$ con una velocidad inicial $\vec v_0$ que forma un ángulo $\alpha_0$ con la horizontal.

Como el proyectil se lanza desde una altura $h$, su posición inicial viene dada por:

$$ \newcommand{\ihat}{\hat{\imath}} \newcommand{\jhat}{\hat{\jmath}} \vec r_0 = x_0\ihat + y_0\jhat = 0+h\jhat = h\jhat $$

Las componentes del vector velocidad inicial $\vec v_0$ están relacionadas con el ángulo $\alpha_0$, a través de su tangente: $$ \tan \alpha_0 = \frac{v_{0y}}{v_x} $$

Componentes de la velocidad

En cualquier momento, las componentes de la velocidad $\vec v$ son: \begin{align*} \vec v_x &= (v\cos\alpha)\ihat \\
\vec v_y &= (v\sin\alpha)\jhat \end{align*}

Según el teorema de Pitágoras: $$ v = \lvert\vec v\rvert = \sqrt{v_x^2+v_y^2} $$

Ecuaciones del movimiento

Para obtener las ecuaciones del movimiento, separamos el movimiento del proyectil en sus dos componentes, $x$ (horizontal) e $y$ (vertical):

Componente $x$
En la dirección horizontal el proyectil describe un MRU, por lo que su ecuación del movimiento vendrá dada por: $$ x(t) = x_0 + v_x t = 0 + v_0\cos\alpha_0\cdot t = v_0\cos\alpha_0\cdot t $$
Componente $y$
En la dirección vertical el proyectil describe un MRUV ($\vec g=-g\jhat$), por lo que su ecuación del movimiento vendrá dada por: $$ y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{1}{2}at^2 = h + v_0\sin\alpha_0\cdot t -\frac{1}{2}gt^2 $$

Ecuaciones vectoriales

MagnitudEcuación vectorial
Posición$\vec r(t) = x(t)\ihat + y(t)\jhat = (v_0\cos\alpha_0\cdot t) \ihat + \left(h+v_0\sin\alpha_0\cdot t -\frac{1}{2}gt^2\right)\jhat$
Velocidad$\vec v(t) = v_x\ihat + v_y(t)\jhat = (v_0\cos\alpha_0)\ihat + (v_0\sin\alpha_0-gt\jhat$
Aceleración$\vec a(t) = a_x\ihat + a_y\jhat = 0 -g\jhat = -g\jhat$

Ecuación de la trayectoria

Eliminando el tiempo $t$ se obtiene la ecuación de una parábola, tal y como se observa en la figura 1:

$$ y = h + x\tan\alpha_0 - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha_0} $$

Tiempo de vuelo

El tiempo de vuelo $t_\text{vuelo}$ es el tiempo total que el móvil permanece en el aire. Se obtiene imponiendo $y(t_\text{vuelo})=0$ y despejando el tiempo $$ 0 = h+v_0\sin\alpha_0\cdot t_\text{vuelo} - \frac{1}{2}gt_\text{vuelo}^2 $$

Despejando $t_\text{vuelo}$: $$ t_\text{vuelo} = \frac{v_0\sin\alpha_0\pm\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha_0+2gh}}{g}, $$ donde nos quedamos únicamente con la opción positiva ($+$).

No tenemos más que imponer $h=0$ en la anterior expresión, para llegar a:

$$ t_\text{vuelo} = \frac{2v_0\sin\alpha_0}{g} $$

Alcance

El alcance es la distancia horizontal que recorre el móvil, siendo máximo para un ángulo $\alpha_0 = 45^\circ$, y teniendo el mismo valor para $\alpha_0 = 45^\circ+a$ que para $\alpha_0 = 45^\circ-a$. Se obtiene sustituyendo en la ecuación de la coordenada $x$ la expresión del tiempo de vuelo, es decir alcance $ = x(t_\text{vuelo})$.

Utilizando la expresión del tiempo de vuelo para el caso $h=0$, tenemos

\begin{align*} x(t_\text{vuelo}) = v_0\cos\alpha_0\cdot t_\text{vuelo} &= v_0\cos\alpha_0\cdot \frac{2v_0\sin\alpha_0}{g} \\
& = \frac{v_0^2\sin(2\alpha_0)}{g} \end{align*}

Altura máxima

La altura máxima $y_\text{máx}$ se alcanza cuando: $$ v_y(t) = v_0\sin\alpha_0-gt = 0 $$

Despejando el tiempo $t=v_0\sin\alpha_0/g$ y sustituyendo en $y(t)$: $$ y_\text{máx} = h+v_0\sin\alpha_0\cdot \frac{v_0\sin\alpha_0}{g}-\frac{1}{2}g\left(\frac{v_0\sin\alpha_0}{g}\right)^2 = h+\frac{v_0^2\sin^2\alpha_0}{2g}, $$

obteniéndose su valor máximo para $\alpha_0 = 90^\circ$ (lanzamiento vertical).

Ángulo de la trayectoria

El ángulo de la trayectoria en un determinado punto coincide con el ángulo que el vector velocidad $\vec v$ forma con la horizontal en ese punto. Para su cálculo obtenemos las componentes $\vec v_x$ y $\vec v_y$ y gracias a la definición trigonométrica de tangente de un ángulo, calculamos $\alpha$: $$ \tan \alpha = \frac{v_y}{v_x} \Rightarrow \alpha = \arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right) $$

Ejemplo


Desde una ventana de una casa que está a $15\thinspace\mathrm{m}$ de altura lanzamos un chorro de agua a $20\thinspace\mathrm{m/s}$ con un ángulo de $40^\circ$. Calcula la distancia a la que caerá el agua y la velocidad con la que llega.


Lo primero hacemos un dibujo representando la situación:


Vamos a escribir las ecuaciones del movimiento, por componentes: \begin{align*} \text{Componente $x$}\rightarrow x(t) &= x_0 + v_x t = 0 + v_0\cos\alpha_0 \cdot t = \left(20\cos 40^\circ\cdot t\right)\thinspace\mathrm{m} \\
\text{Componente $y$}\rightarrow y(t) &= y_0 + v_{0y}t + \frac{1}{2}at^2 = h + v_0\sin\alpha_0\cdot t -\frac{1}{2}gt^2 \\
&= \left(15 + 20\sin40^\circ\cdot t - 4.9t^2\right)\thinspace\mathrm{m} \end{align*}


Lo primero que nos piden es la distancia a la que caerá el agua, o lo que es lo mismo, el alcance. Para ello necesitamos calcular primero el tiempo de vuelo $t_\text{vuelo}$, por lo que imponemos $y\left(t_\text{vuelo}\right)=0$: $$ 0 = 15 + 20\sin40^\circ\cdot t_\text{vuelo} - 4.9t_\text{vuelo}^2 $$

Despejamos el tiempo de vuelo $t_\text{vuelo}$ (notar que únicamente nos quedamos con la opción positiva): $$ t_\text{vuelo} = \frac{20\sin40^\circ\pm\sqrt{20^2\sin^240^\circ+294}}{9.8} = \begin{cases} 3.5\thinspace\mathrm s \\
\xcancel{-0.9\thinspace\mathrm s} \end{cases} $$

Sustituyendo el tiempo de vuelo en la coordenada $x$ obtenemos el alcance:

$$ \text{alcance} = x\left(t_\text{vuelo}\right) = 20\cos40^\circ\cdot t_\text{vuelo} = 20\cos40^\circ\cdot 3.5 = 53.6\thinspace\mathrm m $$


Para calcular la velocidad con la que llega al suelo, escribimos primero la ecuación de la velocidad: $$ \begin{split} \vec v(t) = v_x\ihat + v_y(t)\jhat &= \left(v_0\cos\alpha_0\right)\ihat + \left(v_0\sin\alpha_0 - gt\right)\jhat \\
&= \left[\left(20\cos 40^\circ\right)\ihat + \left(20\sin 40^\circ-9.8t\right)\jhat\right]\thinspace\mathrm{m/s} \end{split} $$ Sustituyendo el tiempo de vuelo obtenemos la velocidad con la que llega al suelo, $\vec v(t_\text{vuelo})$: $$ \begin{split} \vec v(t_\text{vuelo}) &= \left(20\cos 40^\circ\right)\ihat + \left(20\sin 40^\circ-9.8\cdot t_\text{vuelo}\right)\jhat \\
&= 15.3\ihat + \left(20\sin 40^\circ-9.8\cdot 3.5\right)\jhat = \left(15.3\ihat - 21.4\jhat\right)\thinspace\mathrm{m/s} \end{split} $$

siendo el módulo $v = \lvert\vec v\rvert = \sqrt{15.3^2 + (-21.4)^2} = 26.3\thinspace\mathrm{m/s}$ (teorema de Pitágoras).

Simulación

Si te apetece, puedes jugar con esta simulación:


  1. También conocido como tiro oblicuo, este movimiento está estudiado desde la antigüedad. Se recoge en los libros más antiguos de balística para aumentar la precisión en el tiro de un proyectil. ↩︎

  2. Despreciamos aquí el rozamiento con el aire. ↩︎

Rodrigo Alcaraz de la Osa
Rodrigo Alcaraz de la Osa
Doctor en Física y Profesor de Física y Química

Soy Profesor de Física y Química en el IES Ría San Martín de Cantabria (España).

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