Movimientos

MRU, MRUV y MCU

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Índice

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

Características

Las características del movimiento rectilíneo uniforme (MRU) son:

  • Trayectoria rectilínea.
  • Velocidad $v$ constante (aceleración $a=0$).

Ecuación principal

La ecuación principal1 del MRU es:

$$ x(t) = x_0 + v(t-t_0), $$

donde $x$ es la posición final, $x_0$ la posición inicial, $v$ la velocidad, $t$ el tiempo final y $t_0$ el tiempo inicial.

Gráficas

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Ejemplo


Un caracol 🐌 recorre en línea recta una distancia de $10.8\thinspace\mathrm m$ en $1.5\thinspace\mathrm h$. ¿Qué distancia recorrerá en $5\thinspace\mathrm{min}$?


Escribimos la ecuación del movimiento del caracol: $$ x(t) = x_0 + vt, $$ donde $x = 10.8\thinspace\mathrm m$, $x_0 = 0$, $v$ es la velocidad del caracol (desconocida) y $t=1.5\thinspace\mathrm h$.

Como nos preguntan la distancia que recorrerá, $\Delta x = x-x_0$, en $5\thinspace\mathrm{min}$, podemos pasar las $1.5\thinspace\mathrm h$ a minutos:

$$ 1.5\thinspace\cancel{\mathrm h}\cdot \frac{60\thinspace\mathrm{min}}{1\thinspace\cancel{\mathrm h}} = 90\thinspace\mathrm{min} $$

y así calcular la velocidad en m/min: $$ 10.8\thinspace\mathrm m = 0 + v\cdot 90\thinspace\mathrm{min} \rightarrow v = 0.12\thinspace\mathrm{m/min} $$

La distancia recorrida en $5\thinspace\mathrm{min}$ será por tanto: $$ \Delta x (5\thinspace\mathrm{min}) = x(5\thinspace\mathrm{min}) - x_0 = 0.12\thinspace\mathrm{m/\cancel{min}} \cdot 5\thinspace\cancel{\mathrm{min}} = 0.6\thinspace\mathrm m $$

Movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV)

Características

Las características del movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV) son:

  • Trayectoria rectilínea.
  • Aceleración $a$ constante (velocidad $v$ variable).

Ecuaciones principales

La ecuaciones principales del MRUV son: \begin{align*} \label{eq:1} \text{Ecuación de la posición: } x(t) &= x_0 +v_0(t-t_0) +\frac{1}{2}a(t-t_0)^2 \tag{1} \\
\label{eq:2} \text{Ecuación de la velocidad: } v(t) &= v_0 + a(t-t_0) \tag{2} \\
\label{eq:v2} v^2-v_0^2 &= 2a\Delta x \tag{3} \end{align*}

donde $x$ es la posición final, $x_0$ la posición inicial, $v_0$ la velocidad inicial, $a$ la aceleración, $t$ el tiempo final, $t_0$ el tiempo inicial y $\Delta x = x-x_0$ es la distancia o espacio recorrido.

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Ejemplo


Un coche 🚗 que circula a $70.2\thinspace\mathrm{km/h}$ disminuye su velocidad a razón de $3\thinspace\mathrm{m/s}$ cada segundo. ¿Qué distancia recorrerá hasta detenerse?


Lo primero pasamos la velocidad inicial $v_0$ a m/s: $$ v_0 = 70.2\thinspace\frac{\cancel{\mathrm{km}}}{\cancel{\mathrm{h}}}\cdot \frac{1000\thinspace\mathrm m}{\thinspace\cancel{\mathrm{km}}} \cdot \frac{1\thinspace\cancel{\mathrm h}}{3600\thinspace\mathrm s} = 19.5\thinspace\mathrm{m/s} $$

La frase “disminuye su velocidad a razón de $3\thinspace\mathrm{m/s}$ cada segundo” la tenemos que interpretar como que su aceleración $a=-3\thinspace\mathrm{m/s^2}$ (el signo $-$ es porque su velocidad disminuye, y la velocidad la tomamos positiva). Como no me dan información sobre tiempo ni me piden ningún tiempo (sino distancia recorrida $\Delta x$), utilizo la ecuación (3): $$ v^2-v_0^2 = 2a\Delta x, \tag{3} $$ de donde despejo la distancia recorrida $\Delta x$: $$ \Delta x = \frac{v^2-v_0^2}{2a} = \frac{0^2-19.5^2}{2\cdot (-3)} = 63.375\thinspace\mathrm m $$

Caída libre/lanzamiento vertical

La caída libre o lanzamiento vertical es un caso especial de MRUV en el que la aceleración es igual a la aceleración de la gravedad. En el caso de la Tierra, $a=-g=-9.8\thinspace\mathrm{m/s^2}$ (el signo $-$ indica que la aceleración de la gravedad apunta, siempre, hacia abajo).

Astro$g$$\mathrm{m/s^2}$
Sol ☀️28.02274.8
Júpiter ♃2.5324.8
Neptuno ♆1.1411.2
Saturno ♄1.0710.4
Tierra ♁19.8
Venus ♀0.908.9
Urano ♅0.898.7
Marte ♂0.383.7
Mercurio ☿0.383.7
Luna 🌙0.171.6

Ejemplo


Desde la azotea de un rascacielos de $120\thinspace\mathrm m$ de altura se lanza una piedra con velocidad de $5\thinspace\mathrm{m/s}$, hacia abajo. Calcular: a) Tiempo que tarda en llegar al suelo, b) velocidad con que choca contra el suelo.


Escribimos la ecuación del movimiento (1) de la piedra: $$ y(t) = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2, \tag{1} $$ donde $y_0 = 120\thinspace\mathrm m$, $v_0 = -5\thinspace\mathrm{m/s}$ (hacia abajo) y $a=-g=-9.8\thinspace\mathrm{m/s^2}$, de forma que la ecuación particularizada queda: $$ y(t) = 120 - 5t + \frac{1}{2}\cdot (-9.8)\cdot t^2 = 120-5t-4.9t^2 $$

a) De la ecuación (1) podemos despejar el tiempo que tarda en llegar al suelo, sabiendo que cuando llega al suelo, $y=0$: \begin{gather*} 0 = 120 - 5t -4.9t^2 \\
4.9t^2+5t-120=0 \\
t = \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 4.9\cdot (-120)}}{2\cdot 4.9} = \frac{-5\pm \sqrt{2377}}{9.8} = \begin{cases} 4.5\thinspace\mathrm s \\
\xcancel{-5.5\thinspace\mathrm s} \end{cases} \end{gather*}

b) Para calcular la velocidad con que choca contra el suelo podemos utilizar la ecuación (2) o la (3):

Utilizando la ecuación (2)
Sustituyendo el tiempo por el tiempo de llegada al suelo: $$ v(t) = v_0 + at = -5-9.8t = -5-9.8\cdot 4.5 = -48.8\thinspace\mathrm{m/s} $$
Utilizando la ecuación (3)
Teniendo cuidado al calcular $\Delta x = x-x_0 = 0-120 = -120\thinspace\mathrm{m}$, e imponiendo el signo $-$ al despejar $v$: $$ v^2-v_0^2 = 2a\Delta x \tag{3} $$ \begin{align*} v = - \sqrt{v_0^2 + 2a\Delta x} &= - \sqrt{(-5)^2 + 2\cdot (-9.8)\cdot (0-250)} \\
&= -48.8\thinspace\mathrm{m/s} \end{align*}

Representación gráfica del lanzamiento vertical, donde se observa cómo en los primeros intervalos de tiempo la distancia recorrida es menor que en los intervalos finales, debido al incremento de la velocidad.

Encuentros

Se trata de situaciones en las que dos cuerpos, típicamente moviéndose con un MRU o un MRUV, comienzan en posiciones distintas y acaban encontrándose al cabo de un cierto tiempo.

Seguimos estos tres pasos:

  1. Escribir las ecuaciones de la posición de cada cuerpo.
  2. Imponer la condición de encuentro, es decir, que ambas posiciones coinciden cuando se encuentran.
  3. Despejar la magnitud que me pidan.

Ejemplo


Un coche 🚗 se desplaza por una carretera que es paralela a la vía de un tren. El coche se detiene ante un semáforo que está con luz roja en el mismo instante que pasa un tren 🚞 con una rapidez constante de $12\thinspace\mathrm{m/s}$. El coche permanece detenido durante $6\thinspace\mathrm s$ y luego arranca con una aceleración constante de $2\thinspace\mathrm{m/s^2}$. Determinar:
a) El tiempo que emplea el coche en alcanzar al tren, medido desde el instante en que se detuvo ante el semáforo.
b) La distancia que recorrió el coche desde el semáforo hasta que alcanzó al tren.
c) La rapidez del coche en el instante que alcanza al tren.


a) Lo primero que hacemos es escribir las ecuaciones del movimiento de cada móvil:

\begin{align*} \text{Coche (MRUV): } x_\mathrm c &= x_{0_\mathrm c} + v_{0_\mathrm c}(t-t_{0_\mathrm c})+\frac{1}{2}a_\mathrm c(t-t_{0_\mathrm c})^2 \\
\text{Tren (MRU): } x_\mathrm t &= x_{0_\mathrm t} + v_\mathrm t(t-t_{0_\mathrm t}) \end{align*}

Particularizamos para nuestro caso: \begin{gather*} x_{0_\mathrm c}=x_{0_\mathrm t}=0 \\
v_{0_\mathrm c}=0;\quad v_\mathrm t = 12\thinspace\mathrm{m/s} \\
a_\mathrm c = 2\thinspace\mathrm{m/s^2} \\
t_{0_\mathrm c}=6\thinspace\mathrm s;\quad t_{0_\mathrm t} = 0 \end{gather*}

\begin{align*} \text{Coche (MRUV): } x_\mathrm c &= 0 + 0\cdot(t-6)+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot(t-6)^2 \\
&= (t-6)^2 = t^2-12t+36 \\
\text{Tren (MRU): } x_\mathrm t &= 0 + 12\cdot(t-0) = 12t \end{align*}

A continuación imponemos la condición de encuentro:

\begin{align*} x_\mathrm c &= x_\mathrm t \\
t^2-12t+36 &= 12t \\
t^2-24t+36 &= 0 \end{align*}

Despejamos el tiempo de encuentro $t^*$:

$$ t^* = \frac{24\pm\sqrt{24^2-4\cdot 1\cdot 36}}{2} = \frac{24\pm \sqrt{432}}{2} = \begin{cases} 22.4\thinspace\mathrm s \\
\xcancel{1.6\thinspace\mathrm s} \end{cases} $$

donde descartamos la solución $t=1.6\thinspace\mathrm s$ por ser menor que los $6\thinspace\mathrm s$ que está parado el coche en el semáforo. Podemos comprobar esto representando la gráfica de posición frente a tiempo ($x-t$) para cada móvil:

donde se ve claramente cómo el coche está parado los primeros $6\thinspace\mathrm s$ para después arrancar acelerando (parábola) y alcanzando al tren a los $22.4\thinspace\mathrm s$.


b) Para calcular la distancia recorrida por el coche solo tenemos que sustituir el tiempo de encuentro, $t^*=22.4\thinspace\mathrm s$, en su ecuación de posición, ya que comienza en $x_0 = 0$:

$$ x_\mathrm c (t^*) = t^{*2}-12t^*+36 = 22.4^2-12\cdot 22.4 + 36 = 268.7\thinspace\mathrm m $$


c) La rapidez del coche cuando alcanza al tren la podemos calcular utilizando la ecuación de la velocidad del coche, sustituyendo $t=t^*$:

$$ v_\mathrm c(t^*) = v_{0_\mathrm c} + a_\mathrm c (t^*-t_0) = 0 + 2\cdot(22.4-6) = 32.8\thinspace\mathrm{m/s} $$

Movimiento circular uniforme (MCU)

Características

Las características del movimiento circular uniforme (MCU) son:

  • Trayectoria circular.
  • Módulo de la velocidad constante (aceleración tangencial $a_\mathrm t=0$).

Ecuación principal

La ecuación principal del MCU es: $$ \varphi(t) = \varphi_0 + \omega (t-t_0), $$

donde $\varphi$ es la posición angular final, $\varphi_0$ la posición angular inicial, $\omega$ la frecuencia o velocidad angular, $t$ el tiempo final y $t_0$ el tiempo inicial.

Periodo $T$
El tiempo que tarda el móvil en completar una vuelta completa se llama periodo, $T$.
Frecuencia $f$
El número de vueltas que da el móvil en $1\thinspace\mathrm s$ es la frecuencia, $f$, y está relacionada con el periodo: $$ f = \frac{1}{T}\thinspace \left[\frac{1}{\mathrm{s}} = \mathrm{s^{-1}} = \mathrm{Hz}\right] $$

La frecuencia o velocidad angular, $\omega$, está relacionada con el periodo y la frecuencia a través de las expresiones: $$ \omega = \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f $$

Las magnitudes lineales y las angulares se relacionan a través del radio $R$: \begin{align*} e &= \varphi R \\
v &= \omega R \end{align*}

Aceleración centrípeta $a_\mathrm c$

También llamada aceleración normal, es una aceleración que surge del cambio de dirección de la velocidad. Su módulo es igual a: $$ a_\mathrm c = \frac{v^2}{R} $$

y siempre se dirige hacia el centro de la circunferencia.

Ejemplo


Las aspas de un ventilador giran uniformemente a razón de 90 vueltas por minuto (rpm). Determina: a) su velocidad angular, en rad/s; b) la velocidad lineal de un punto situado a $30\thinspace\mathrm{cm}$ del centro; c) el número de vueltas que darán las aspas en $5\thinspace\mathrm{min}$.


a) Utilizamos factores de conversión:

$$ \omega = 90\thinspace\mathrm{rpm} = 90\thinspace\frac{\cancel{\mathrm{rev}}}{\cancel{\mathrm{min}}} \cdot \frac{2\pi\thinspace\mathrm{rad}}{1\thinspace\cancel{\mathrm{rev}}} \cdot \frac{1\thinspace\cancel{\mathrm{min}}}{60\thinspace\mathrm{s}} = 3\pi\thinspace\mathrm{rad/s} \approx 9.4\thinspace\mathrm{rad/s} $$


b) Utilizamos la relación entre las velocidades lineal y angular, con $R=30\thinspace\mathrm{cm} = 0.3\thinspace\mathrm{m}$: $$ v = \omega R = 3\pi\thinspace\mathrm{rad/s}\cdot 0.3\thinspace\mathrm{m} = 0.9\pi\thinspace\mathrm{m/s} \approx 2.8\thinspace\mathrm{m/s} $$


c) Escribimos la ecuación del movimiento de las aspas: $$ \varphi(t) = \varphi_0 + \omega (t-t_0), $$ donde $\varphi_0 = 0$, $\omega = 90\thinspace\mathrm{rpm}$ y $t_0 = 0$, es decir: $$ \varphi(t) = 90t\thinspace[\mathrm{rev}] $$ Sustituyendo el tiempo por $t=5\thinspace\mathrm{min}$, obtenemos el espacio angular en vueltas (rev): $$ \varphi(5\thinspace\mathrm{min}) = 90\thinspace\mathrm{rev/\cancel{min}}\cdot 5\thinspace\cancel{\mathrm{min}} = 450\thinspace\mathrm{rev} $$


  1. Esta es la llamada ecuación del movimiento o ecuación de la posición, pues nos da la posición $x$ en función del tiempo $t$. ↩︎

Rodrigo Alcaraz de la Osa
Rodrigo Alcaraz de la Osa
Doctor en Física y Profesor de Física y Química

Soy Profesor de Física y Química en el IES Ría San Martín de Cantabria (España).

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