MAS

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El movimiento arm贸nico simple (MAS) es un tipo especial de movimiento peri贸dico en el que la fuerza restauradora (el谩stica) sobre el objeto en movimiento es directamente proporcional a la magnitud del desplazamiento del objeto y act煤a hacia su posici贸n de equilibrio.

El resultado es una oscilaci贸n que contin煤a indefinidamente salvo que sea inhibida por fricci贸n o cualquier otra disipaci贸n de energ铆a.

Puede considerarse la proyecci贸n unidimensional del movimiento circular uniforme (MCU).

Movimiento arm贸nico simple, mostrado en el espacio real y en el [espacio f谩sico](https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_f谩sico). La 贸rbita es peri贸dica.
Movimiento arm贸nico simple, mostrado en el espacio real y en el espacio f谩sico. La 贸rbita es peri贸dica.

Son ejemplos de MAS el movimiento de una masa unida a un muelle, un p茅ndulo simple o un yugo escoc茅s:

Magnitudes

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Amplitud A

M谩xima elongaci贸n (desplazamiento m谩ximo de la posici贸n de equilibrio).

En el SI se mide en m.

Periodo T

Tiempo empleado en completar una oscilaci贸n completa.

En el SI se mide en s.

Frecuencia f

N煤mero de oscilaciones por unidad de tiempo: $f = 1/T$.

En el SI se mide en Hz.

Frecuencia angular

$$ \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f $$

En el SI se mide en rad/s.

Fase inicial

Indica el estado de oscilaci贸n/vibraci贸n inicial.

Se denota por $\varphi_0$.

En el SI se mide en rad.

Ecuaciones

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La posici贸n de un MAS puede expresarse indistintamente en funci贸n del seno o del coseno, sin m谩s que variar la fase inicial, teniendo en cuenta las relaciones:

sin 伪 = cos (伪 鈥 蟺/2)
cos 伪 = sin (伪 + 蟺/2)

Posici贸n

Velocidad

Aceleraci贸n

Din谩mica del MAS

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Ley de Hooke

Aplicando la 2陋 ley de Newton a una masa $m$ unida a un extremo de un muelle (resorte) de constante el谩stica $k$: \begin{align*} F &= ma \\ -kx &= ma \\ -kx &= -m\omega^2x \end{align*} de donde

$$ k = m\omega^2 $$

La frecuencia angular, $\omega$, puede calcularse por tanto como:

$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$

El periodo, $T$, o la frecuencia, $f$, con la que oscila una masa $m$ unida a un extremo de un resorte de constante el谩stica $k$ pueden por tanto escribirse como:

$$ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}};\quad f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} $$

Puedes aprender m谩s sobre masas y resortes con este excelente laboratorio:

P茅ndulo simple

Consiste en una masa suspendida de un pivote de forma que puede oscilar libremente.

En este caso la componente tangencial del peso act煤a como fuerza recuperadora, acelerando la masa hacia su posici贸n de equilibrio, provocando la oscilaci贸n alrededor de ella.

\begin{align*} -mg\sin\theta &= ma \\ -g\sin\theta &= -\omega^2x \\ -g\sin\theta &= -\omega^2l\theta \end{align*}

  • En la aproximaci贸n para 谩ngulos peque帽os, $\sin\theta\approx\theta$, por lo que el movimiento se aproxima por un movimiento arm贸nico simple de frecuencia angular: $$ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} $$
  • El tiempo que tarda la masa en completar una oscilaci贸n completa es el periodo, que 煤nicamente depende de la longitud del p茅ndulo y de la aceleraci贸n de la gravedad, a trav茅s de la expresi贸n: $$ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $$
  • Fuera de la aproximaci贸n para 谩ngulos peque帽os, el periodo de un p茅ndulo tambi茅n depende ligeramente de la amplitud de la oscilaci贸n.

Puedes estudiar los factores que influyen en el periodo de un p茅ndulo con este excelente laboratorio:

Energ铆a del MAS

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Energ铆a potencial el谩stica

Como la fuerza el谩stica es conservativa, definimos la energ铆a potencial asociada:

$$ E_\mathrm p = \frac{1}{2}kx^2,\quad \text{donde $k=m\omega^2$} $$

Sustituyendo la expresi贸n de la posici贸n, $x = A\sin\left(\omega t + \varphi_0\right)$:

$$ E_\mathrm p = \frac{1}{2}kA^2\sin^2\left(\omega t + \varphi_0\right) $$

Energ铆a cin茅tica

La energ铆a cin茅tica viene dada por la expresi贸n:

$$ E_\mathrm c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2\left(A^2-x^2\right) = \frac{1}{2}k\left(A^2-x^2\right) $$

Sustituyendo la expresi贸n de la velocidad, $v = A\omega\cos\left(\omega t + \varphi_0\right)$:

$$ E_\mathrm c = \frac{1}{2}mA^2\omega^2\cos^2\left(\omega t + \varphi_0\right) = \frac{1}{2}kA^2\cos^2\left(\omega t + \varphi_0\right) $$

Energ铆a mec谩nica

En ausencia de rozamiento y otras p茅rdidas de energ铆a, la energ铆a mec谩nica total es constante:

$$ E_\mathrm m = E_\mathrm c + E_\mathrm p = \frac{1}{2}k\left(A^2-x^2\right) + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2 $$

Aprende m谩s sobre la energ铆a del MAS con este excelente 馃У hilo sobre el oscilador arm贸nico simple:

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