Estructura de la materia

Índice

Modelos atómicos

Dalton

Basándose en las ideas de Demócrito, John Dalton propuso este modelo a principios del siglo XIX, considerando al átomo como una esfera maciza indivisible.

Los descubrimientos de la radiactividad natural por Becquerel (1896) y el electrón por Thomson (1897) hicieron necesaria la revisión de este modelo.

Thomson

También conocido como el modelo del pastel de pasas, fue propuesto en 1904 por J.J. Thomson, quien considera que el átomo está formado por una nube esférica con carga positiva en donde se encuentran incrustados los electrones, con carga negativa, como las pasas en un pastel.

Los descubrimientos del núcleo atómico y del protón por Rutherford (1911 y 1919, respectivamente) llevaron a la revisión de este modelo.

Rutherford

Gracias a su famoso experimento de la lámina de oro (Au), Ernest Rutherford propuso, en 1911, un modelo de átomo formado por un núcleo, muy pequeño comparado con el tamaño del átomo, con carga positiva y donde se concentra casi toda su masa. Los electrones, con carga negativa, giran alrededor del núcleo como lo hacen los planetas alrededor del Sol.

La integridad del núcleo¹ y la inestabilidad de las órbitas electrónicas² desde un punto de vista clásico hicieron necesaria la revisión de este modelo.

Bohr

Propuesto en 1913 por Niels Bohr para explicar la estabilidad de la materia y los característicos espectros de emisión y absorción de los gases.

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Postulados

Este modelo se basa en tres postulados fundamentales:

1. Los electrones describen órbitas circulares en torno al núcleo sin irradiar energía.
2. Solo están permitidas aquellas órbitas en las que el electrón tiene un momento angular múltiplo entero de $\hbar = h/(2\pi)$.
3. El electrón solo emite o absorbe energía en los saltos de una órbita permitida a otra, siendo la energía emitida/absorbida la diferencia de energía entre ambos niveles.

Ecuación de Rydberg

La ecuación de Rydberg nos da la longitud de onda de las líneas espectrales de muchos elementos químicos. Para el caso del hidrógeno:

$$ \frac{1}{\lambda} = R_\mathrm H\cdot\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right), $$

donde $\lambda$ es la longitud de onda de la radiación emitida en el vacío, $R_\mathrm H = 1.097\times 10^7\thinspace \mathrm m^{-1}$ es la constante de Rydberg y $n_1$ y $n_2$ son los números cuánticos principales de las órbitas involucradas en el salto (con $n_2>n_1$).

Esta ecuación también nos permite calcular el valor energético correspondiente a una transición electrónica entre dos niveles dados, $\Delta E$:

$$ \Delta E = hcR_\mathrm H\cdot\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right), $$

donde $c = 299\thinspace 792\thinspace 458\thinspace \mathrm{m/s}$ es la velocidad de la luz en el vacío.

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La ecuación de Rydberg nos permite calcular el valor energético correspondiente a una transición electrónica entre dos niveles dados, $\Delta E$. Vamos a escribir lo primero la expresión que nos da la energía total de un electrón moviéndose en una órbita (supuesta circular):

$$ E = E_\mathrm c + E_\mathrm p, $$

donde $E_\mathrm c$ es la energía cinética y $E_\mathrm p$ la energía potencial eléctrica del electrón:

$$ \begin{aligned} E_\mathrm c &= \frac{1}{2}mv^2 \\\\ E_\mathrm p &= -\frac{ke^2}{r} \end{aligned} $$

La única fuerza a la que está sometido el electrón es la fuerza de atracción eléctrica por parte del núcleo. Esta fuerza por tanto actuará como fuerza centrípeta:

$$ \begin{aligned} \lvert F_\mathrm e\rvert &= \lvert f_\mathrm c\rvert \\\\ \frac{ke^2}{r^2} &= \frac{mv^2}{r} \rightarrow mv^2 = \frac{ke^2}{r} \end{aligned} $$

Por lo que podemos escribir la energía total como:

$$ E = \frac{1}{2}\frac{ke^2}{r}-\frac{ke^2}{r} = -\frac{1}{2}\frac{ke^2}{r} $$

El segundo postulado del modelo de Bohr impone una condición para las órbitas permitidas, lo que significa que el radio de la órbita, $r$, está cuantizado:

$$ \begin{aligned} mvr &= n\hbar \\\\ v &= \frac{n\hbar}{mr} \rightarrow v^2 = \frac{n^2\hbar^2}{m^2r^2} \end{aligned} $$

Sustituyendo en la anterior relación obtenida a partir de la fuerza centrípeta:

$$ \begin{aligned} mv^2 &= \frac{ke^2}{r} \\\\ \frac{n^2\hbar^2}{mr^2} &= \frac{ke^2}{r} \rightarrow r = \frac{n^2\hbar^2}{ke^2m} \end{aligned} $$

Por lo que podemos escribir la energía total como:

$$ E = -\frac{1}{2}\frac{ke^2}{r} = -\frac{k^2e^4m}{2n^2\hbar^2} = -\frac{\mathrm{cte}}{n^2}, $$

donde $\mathrm{cte} = k^2e^4m/(2\hbar^2)$ puede escribirse como $\mathrm{cte} = hcR_\mathrm H$, siendo $R_\mathrm H$ la constante de Rydberg. La variación de energía entre dos niveles dados es por tanto:

$$ \Delta E = hcR_\mathrm H\cdot\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right) $$

Orígenes de la teoría cuántica

Radiación de cuerpo negro

Es la radiación electromagnética re-emitida por un cuerpo ideal que absorbe toda la radiación que incide sobre él (cuerpo negro), estando en equilibrio termodinámico con su entorno.

Tiene un espectro muy característico, inversamente relacionado con la intensidad, que depende únicamente de la temperatura del cuerpo.

El fallo de la teoría clásica vigente a la hora de explicar la forma de este espectro se conoce como la catástrofe ultravioleta.

Max Planck fue quien consiguió, en 1900, explicar el espectro del cuerpo negro, dando así origen a la teoría cuántica.

Aprende más sobre la radiación de cuerpo negro con esta excelente simulación:

¿Sabías que hemos creado lo más negro que hay en la Tierra? Manuel Alonso Orts nos lo cuenta en este 🧵 hilo de Twitter:

Hipótesis de Planck

La energía solo puede ser emitida/absorbida en paquetes discretos llamados cuantos o fotones, múltiplos de la frecuencia $\nu$ de la radiación electromagnética asociada:

$$ E = h \nu, $$

donde $h = 6.626\times 10^{-34}\thinspace\mathrm{J\thinspace s}$ es la constante de Planck.

Efecto fotoeléctrico

El efecto fotoeléctrico consiste en la emisión de (foto)electrones cuando radiación electromagnética, como por ejemplo luz ultravioleta, incide sobre un material, típicamente metálico.

Características

• La cantidad de fotoelectrones emitidos es directamente proporcional a la intensidad de la radiación incidente.
• La emisión de fotoelectrones solo se produce cuando la radiación incidente tiene una frecuencia mayor o igual que una cierta frecuencia mínima, llamada frecuencia umbral o de corte, $\nu_0$, que es característica de cada material.
• La energía cinética de los fotoelectrones depende únicamente de la frecuencia de la radiación incidente.
• La emisión de fotoelectrones se realiza instantáneamente, sin existir ningún retraso entre la absorción de energía y la emisión de los fotoelectrones.

\begin{align*} E &= \phi + E_\mathrm c \\ h\nu &= h\nu_0 + E_\mathrm c \Rightarrow E_\mathrm c = h\left(\nu-\nu_0\right), \end{align*}

donde $h = 6.626\times 10^{-34}\thinspace\mathrm{J\thinspace s}$ es la constante de Planck, $\nu$ es la frecuencia de la radiación incidente, $\nu_0$ es la frecuencia umbral (cuya energía asociada, $\phi = h \nu_0$ se denomina función de trabajo o trabajo de extracción) y $E_\mathrm c = h\left(\nu-\nu_0\right)$ es la energía cinética máxima de los fotoelectrones, emitidos siempre que se cumpla $\nu \geq \nu_0$.

Mecánica cuántica

Dualidad onda-corpúsculo

Consiste en que el comportamiento de los objetos cuánticos no puede ser descrito considerando a estos como partículas u ondas, sino que tienen una naturaleza dual.

A partir de experimentos de difracción de electrones, Louis de Broglie fue el primero que propuso la siguiente hipótesis:

Toda partícula de masa $m$ moviéndose a una velocidad $v$ tiene asociada una onda (de materia) cuya longitud de onda, $\lambda$, viene dada por

$$ \lambda = \frac{h}{mv}, $$

siendo $h = 6.626\times 10^{-34}\thinspace\mathrm{J\thinspace s}$ la constante de Planck.

En el siguiente vídeo de Quantum Made Simple (en inglés) puedes aprender más sobre la dualidad onda-corpúsculo:

Principio de incertidumbre de Heisenberg

Existen ciertos pares de magnitudes físicas (aquellas cuyo producto tiene dimensiones de $\mathsf{M}\mathsf{L}^2\mathsf{T}^{-1}$), que no pueden ser determinadas simultáneamente con total exactitud, pues el producto de sus incertidumbres ha de ser mayor o igual que $h/(4\pi) = \hbar/2$.

Ejemplos de tales magnitudes son:

\begin{align*} \text{Posición $x$ y momento lineal $p$: } & \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \\ \text{Energía $E$ y tiempo $t$: } & \Delta E \cdot \Delta t \geq \frac{\hbar}{2} \end{align*}

donde $\Delta$ denota la incertidumbre asociada y $\hbar = h/(2\pi)$.

El principio de incertidumbre de Heisenberg implica que, aunque se especifiquen todas las condiciones iniciales, no es posible predecir el valor de una cantidad con total certeza, dando así paso a una interpretación probabilística de la mecánica cuántica.

Orbitales atómicos

Son funciones matemáticas³ que describen el tamaño, la forma y la orientación de las regiones del espacio donde es posible encontrar al electrón⁴.

Números cuánticos y su interpretación

Los números cuánticos describen valores de magnitudes físicas que se conservan en la dinámica de un sistema cuántico, tales como la energía o el momento angular, las cuales están cuantizadas y por tanto toman valores discretos.

Para describir completamente el estado cuántico de un electrón en un átomo necesitamos cuatro números cuánticos, los cuales tienen un significado orbital concreto.

Número cuántico principal $n$

Nos da el tamaño y la energía del orbital. Toma valores naturales ($1\leq n$), como por ejemplo $n = 1,2,3,\dots$

Número cuántico secundario $l$

Nos da la energía y forma del orbital. Puede tomar los siguientes valores:

$$ 0\leq l\leq n-1 $$

de forma que, por ejemplo, para $n = 3$: $l=\\{0,1,2\\}$.

Número cuántico magnético $m_l$

Nos da la orientación del orbital. Puede tomar los siguientes valores:

$$ -l\leq m_l\leq l $$

de forma que, por ejemplo, para $l = 2$: $m_l=\\{-2,-1,0,1,2\\}$.

Espín $m_s$

Es el momento angular intrínseco. Puede tomar los siguientes valores:

$$ -s\leq m_s\leq s $$

Para un electrón, $s=1/2$, por lo que $m_s = \\{-1/2,1/2\\}$.

Estructura electrónica

Principio de exclusión de Pauli

Dos o más electrones no pueden tener todos sus números cuánticos idénticos (ocupar el mismo estado cuántico) dentro del mismo sistema cuántico (átomo).

Gracias a este principio podemos determinar el número máximo de electrones que caben en cada tipo de orbital:

Tipo de orbital	s	p	d	f
Número de orbitales	1	3	5	7
Número máximo de e–	2	6	10	14

Orden energético creciente

La configuración electrónica es la distribución de los electrones de un átomo en orbitales atómicos (s, p, d y f). El diagrama de Möller nos ayuda a saber en qué orden han de llenarse los distintos orbitales, siguiendo las flechas (orden energético creciente).

Regla de Hund de la máxima multiplicidad

Al llenar orbitales de igual energía (por ejemplo los tres orbitales p) los electrones se distribuyen, siempre que sea posible, con sus espines paralelos, llenando los orbitales con la multiplicidad mayor.

Ejemplos

Se muestran también los números cuánticos del último electrón:

Partículas subatómicas

Tras los descubrimientos de Thomson, Rutherford y Chadwick a principios del siglo XX, parecía claro que el átomo estaba formado por protones y neutrones en su núcleo y una corteza donde estaban los electrones.

Partícula	Masa/kg	Carga/C
Protón	$1.673\times 10^{-27}$	$1.602\times 10^{-19}$
Neutrón	$1.675\times 10^{-27}$	$0$
Electrón	$9.109\times 10^{-31}$	$-1.602\times 10^{-19}$

$m_\text{protón}\simeq m_\text{neutrón}\sim 2000m_\text{electrón}$
$q_\text{protón}=-q_\text{electrón}$

Modelo estándar

Es la teoría que describe tres de las cuatro interacciones fundamentales de la naturaleza conocidas (electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil), además de clasificar todas las partículas elementales conocidas.

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Evolución del Universo