El movimiento

Un Fórmula 1 🏎️ es capaz de acelerar de 0 a 300$\thinspace$km/h en 10.6$\thinspace$s.
a) ¿Cuál es su aceleración?
b) ¿Qué velocidad lleva a los 5$\thinspace$s?

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a) Lo primero pasamos la velocidad a m/s:

$$ v = 300\thinspace\frac{\cancel{\mathrm{km}}}{\cancel{\mathrm{h}}}\cdot \frac{1000\thinspace\mathrm m}{\thinspace\cancel{\mathrm{km}}} \cdot \frac{1\thinspace\cancel{\mathrm h}}{3600\thinspace\mathrm s} = 83.\overline{3}\thinspace\mathrm{m/s} $$

Calculamos la aceleración con la expresión:

$$ a = \frac{v-v_0}{\Delta t}, $$

donde $v = 83.\overline{3}\thinspace\mathrm{m/s}$, $v_0 = 0$ y $\Delta t = 10.6\thinspace\mathrm{s}$. Sustituyendo:

$$ a = \frac{83.\overline{3}\thinspace\mathrm{m/s} - 0}{10.6\thinspace\mathrm{s}} = 7.86\thinspace\mathrm{m/s^2} $$

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b) Para calcular qué velocidad tiene a los 5$\thinspace$s utilizamos la expresión:

$$ v = v_0 + a\cdot \Delta t, $$

con $v_0 = 0$, $a = 7.86\thinspace\mathrm{m/s^2}$ y $\Delta t = 5\thinspace\mathrm s$. Sustituyendo:

\begin{align*} v = 0 + 7.86\thinspace\mathrm{m/s^\cancel{2}}\cdot 5\thinspace\cancel{\mathrm s} &= 39.3\thinspace\mathrm{m/s} \\ &= 141.5\thinspace\mathrm{km/h} \end{align*}

Un coche 🚗 y una moto 🏍️ salen uno hacia el otro desde dos ciudades que distan 200$\thinspace$km, con velocidades de 70$\thinspace$km/h y 90$\thinspace$km/h, respectivamente. Calcula:
a) ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse?
b) ¿Qué distancia ha recorrido cada uno de ellos?

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El siguiente esquema representa la situación que tenemos:

a) Lo primero que hacemos es escribir las ecuaciones del movimiento de cada móvil: \begin{align*} \text{Coche (MRU): } x_\mathrm c &= x_{0_\mathrm c} + v_\mathrm c\cdot t \\ \text{Moto (MRU): } x_\mathrm m &= x_{0_\mathrm m} + v_\mathrm m\cdot t \end{align*}

Particularizamos para nuestro caso, tomando el origen donde empieza el coche y sentido positivo hacia la derecha: \begin{gather*} x_{0_\mathrm c}=0;\quad x_{0_\mathrm m}=200\thinspace\mathrm{km} \\ v_\mathrm c=70\thinspace\mathrm{km/h};\quad v_\mathrm m = -90\thinspace\mathrm{km/h} \end{gather*}

\begin{align*} \text{Coche (MRU): } x_\mathrm c &= 0 + 70 t = 70t \\ \text{Moto (MRU): } x_\mathrm m &= 200 - 90t \end{align*}

A continuación imponemos la condición de encuentro: \begin{align*} x_\mathrm c &= x_\mathrm m \\ 70t &= 200-90t \\ 160 t &= 200 \end{align*}

Despejamos el tiempo de encuentro $t^*$:

$$ t^* = \frac{200\thinspace\mathrm{\cancel{km}}}{160\thinspace\mathrm{\cancel{km}/h}} = 1.25\thinspace\mathrm{h} $$

Podemos comprobar esto representando la gráfica de posición frente a tiempo ($x-t$) para cada móvil:

donde se ve claramente cómo el coche y la moto se encuentran para $t^* = 1.25\thinspace\mathrm{h}$.

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b) Para calcular la distancia recorrida por cada uno de ellos, sustituimos el tiempo de encuentro, $t^*=1.25\thinspace\mathrm{h}$, en las ecuaciones de posición del coche y de la moto, teniendo en cuenta las posiciones iniciales de cada uno de ellos:

\begin{align*} \Delta x_\mathrm c (t^*) &= x_\mathrm c (t^*) - x_{0_\mathrm c} \\ &= 70\cdot 1.25 = 87.5\thinspace\mathrm{km} \\ \Delta x_\mathrm m (t^*) &= x_\mathrm m (t^*) - x_{0_\mathrm m} \\ &= 200-90\cdot 1.25 - 200 = -112.5\thinspace\mathrm{km} \end{align*}

donde el signo – indica que la moto ha recorrido esa distancia hacia la izquierda.