Energía, trabajo y calor

Un carro de 50$\thinspace$kg desliza por una montaña rusa como la de la figura. Si en el punto A su velocidad es de 5$\thinspace$m/s y en el punto B es de 3.2$\thinspace$m/s, calcula:
a) La energía mecánica en A y en B.
b) La energía disipada en forma de calor debido a las fuerzas de rozamiento entre los puntos A y B.

Tanto en A como en B el carro tiene energía cinética (se mueve a una cierta velocidad) y potencial gravitatoria (está a una cierta altura).

\begin{align*} \text{Punto A} & \begin{cases} v_\mathrm A = 5\thinspace\mathrm{m/s} \\ h_\mathrm A = 30\thinspace\mathrm{m} \end{cases} \\ \\ \text{Punto B} & \begin{cases} v_\mathrm B = 3.2\thinspace\mathrm{m/s} \\ h_\mathrm B = 20\thinspace\mathrm{m} \end{cases} \end{align*}

\begin{align*} E_{\mathrm{m}_\mathrm A} & = \frac{1}{2}mv_\mathrm A^{2 + mgh_\mathrm A \\ & = \frac{1}{2}\cdot 50\cdot 5}2 + 50\cdot 9.8\cdot 30 \\ & = 625 + 14700 = 15325\thinspace\mathrm J \end{align*}

\begin{align*} E_{\mathrm{m}_\mathrm B} & = \frac{1}{2}mv_\mathrm B^{2 + mgh_\mathrm B \\ & = \frac{1}{2}\cdot 50\cdot 3.2}2 + 50\cdot 9.8\cdot 20 \\ & = 256 + 9800 = 10056\thinspace\mathrm J \end{align*}

b) La energía perdida por rozamiento (en forma de calor) es igual a la diferencia entre la energía inicial (A) y la final (B): \begin{align*} E_\text{disipada} & = E_{\mathrm{m}_\mathrm A} - E_{\mathrm{m}_\mathrm B} \\ & = 15325 - 10056 = 5269\thinspace\mathrm J \end{align*}

Los vecinos de un bloque de pisos se han quejado de que su ascensor, con capacidad para 400$\thinspace$kg, es demasiado lento.
a) ¿Qué potencia deberá tener el nuevo motor que se instale para que pueda subir hasta arriba (supongamos 30$\thinspace$m) en 10 segundos?
b) ¿Cuál es la velocidad media del ascensor?

donde $W$ es el trabajo que ha de realizar el motor y $t$ es el tiempo.

La fuerza que debe vencer el ascensor es el peso del propio ascensor (supondremos unos 300$\thinspace$kg) más el peso de las personas que vayan dentro, suponiendo que sube lleno. \begin{align*} F &= P_\text{ascensor} + P_\text{personas} \\ &= m_\text{ascensor}\cdot g + m_\text{personas}\cdot g \\ &= (m_\text{ascensor} + m_\text{personas})\cdot g \\ &= (300\thinspace\mathrm{kg} + 400\thinspace\mathrm{kg})\cdot 9.8\thinspace\mathrm{N/kg} \\ &= 6860\thinspace\mathrm N \end{align*}

Como curiosidad, el ascensor más rápido del mundo es capaz de viajar a 21$\thinspace$m/s.

Para forjar acero es necesario calentarlo a temperaturas de entre 800 °C y 1000 °C. Si tenemos una espada de acero de 1.2$\thinspace$kg de masa y 1$\thinspace$m de longitud a temperatura ambiente (20 °C) y la calentamos hasta los 900 °C, ¿cuál será su nueva longitud?
Dato: $\alpha_\text{acero} = 1.2\times 10^{-5}\thinspace\mathrm{^\circ C^{-1}}$.

la podemos escribir como ($\Delta l = l-l_0$): \begin{align} l-l_0 &= \alpha\cdot l_0\cdot \Delta T \\ l &= l_0 + \alpha\cdot l_0\cdot \Delta T \\ l &= l_0\cdot(1+\alpha\cdot \Delta T) \end{align}

Sustituyendo valores tenemos: \begin{align} l &= 1\cdot [1+1.2\times 10^{-5}\cdot (900-20)] \\ &= 1.01\thinspace\mathrm m, \end{align}

es decir, se ha alargado 1$\thinspace$cm aproximadamente.

Si tras calentar la espada la sumergimos en un tanque cilíndrico de 5$\thinspace$cm de radio y 1$\thinspace$m de altura, lleno de agua a temperatura ambiente (20 °C), ¿a qué temperatura se calentará el agua?
Datos: $d_\text{agua} = 1\thinspace\mathrm{kg/L}$; $c_\text{acero} = 0.12\thinspace\mathrm{kcal\thinspace kg^{-1}\thinspace ^\circ C^{-1}}$; $c_\text{agua} = 1\thinspace\mathrm{kcal\thinspace kg^{-1}\thinspace ^\circ C^{-1}}$.

con $m_\text{espada} = 1.2\thinspace\mathrm{kg}$, $c_\text{acero} = 0.12\thinspace\mathrm{kcal\thinspace kg^{-1}\thinspace ^\circ C^{-1}}$, $T_\text{espada} = 900\thinspace^\circ\mathrm{C}$ y $T_\mathrm e$ la temperatura final de equilibrio de la mezcla (en °C). Sustituyendo valores:

con $c_\text{agua} = 1\thinspace\mathrm{kcal\thinspace kg^{-1}\thinspace ^\circ C^{-1}}$, $T_\text{agua} = 20\thinspace^\circ\mathrm{C}$ y $T_\mathrm e$ la temperatura final de equilibrio de la mezcla (en °C).

donde $r = 5\thinspace\mathrm{cm} = 0.05\thinspace\mathrm{m}$ y $h = 1\thinspace\mathrm m$: \begin{align*} V_\text{agua} = \pi r^{2 h = \pi\cdot 0.05}2\cdot 1 &= 0.0079\thinspace\mathrm{m^3} \\ & = 7.9\thinspace\mathrm{L} \end{align*}

Imponiendo la conservación de la energía: \begin{align*} Q_\text{cedido} + Q_\text{ganado} &= 0 \\ 0.144T_\mathrm e - 129.6 + 7.9T_\mathrm e - 157.1 &= 0 \end{align*}

de donde despejamos $T_\mathrm e = 35.8\thinspace ^\circ\mathrm C$.