Movimientos
- Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
- Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)
- Caída libre/lanzamiento vertical
- Encuentros
- Movimiento circular uniforme (MCU)
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Aplica y relaciona los conceptos estudiados en este tema a una situación cotidiana como puede ser el desplazamiento en un vehículo, con esta genial actividad.
Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)
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Características
Las características del movimiento rectilíneo uniforme (MRU) son:
- Trayectoria rectilínea.
- Velocidad $v$ constante (aceleración $a=0$).
Ecuación principal
La ecuación principal del MRU es:
$$ x(t) = x_0 + v(t-t_0), $$donde $x$ es la posición final, $x_0$ la posición inicial, $v$ la velocidad, $t$ el tiempo final y $t_0$ el tiempo inicial.
Gráficas
Agudiza tu comprensión de la posición, la velocidad y la aceleración construyendo gráficas de movimiento en tiempo real con este genial juego.
Ejemplo
Un caracol 🐌 recorre en línea recta una distancia de 10.8 m en 1.5 h. ¿Qué distancia recorrerá en 5 min?
Escribimos la ecuación del movimiento del caracol:
$$ x(t) = x_0 + vt, $$donde $x = 10.8\thinspace\mathrm m$, $x_0 = 0$, $v$ es la velocidad del caracol (desconocida) y $t=1.5\thinspace\mathrm h$.
Como nos preguntan la distancia que recorrerá, $\Delta x = x-x_0$, en $5\thinspace\mathrm{min}$, podemos pasar las $1.5\thinspace\mathrm h$ a minutos:
$$ 1.5\thinspace\mathrm h\cdot \frac{60\thinspace\mathrm{min}}{1\thinspace\mathrm h} = 90\thinspace\mathrm{min} $$y así calcular la velocidad en m/min:
$$ 10.8\thinspace\mathrm m = 0 + v\cdot 90\thinspace\mathrm{min} \rightarrow v = 0.12\thinspace\mathrm{m/min} $$La distancia recorrida en $5\thinspace\mathrm{min}$ será por tanto:
$$ \Delta x (5\thinspace\mathrm{min}) = x(5\thinspace\mathrm{min}) - x_0 = 0.12\thinspace\mathrm{m/min} \cdot 5\thinspace\mathrm{min} = 0.6\thinspace\mathrm m $$Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)
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Características
Las características del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) son:
- Trayectoria rectilínea.
- Aceleración $a$ constante (velocidad $v$ variable).
Ecuaciones principales
La ecuaciones principales del MRUA son: \begin{align*} \label{eq:1} \text{Posición: } x(t) &= x_0 +v_0(t-t_0) +\frac{1}{2}a(t-t_0)^2 \tag{1} \\ \label{eq:2} \text{Velocidad: } v(t) &= v_0 + a(t-t_0) \tag{2} \\ \label{eq:v2} v^2-v_0^2 &= 2a\Delta x \tag{3} \end{align*}
donde $x$ es la posición final, $x_0$ la posición inicial, $v_0$ la velocidad inicial, $v$ la velocidad final, $a$ la aceleración, $t$ el tiempo final, $t_0$ el tiempo inicial y $\Delta x = x-x_0$ es la distancia o espacio recorrido.
Gráficas
Agudiza tu comprensión de la posición, la velocidad y la aceleración construyendo gráficas de movimiento en tiempo real con este genial juego.
Ejemplo
Un coche 🚗 que circula a 70.2 km/h disminuye su velocidad a razón de 3 m/s cada segundo. ¿Qué distancia recorrerá hasta detenerse?
Lo primero pasamos la velocidad inicial $v_0$ a m/s:
$$ v_0 = 70.2\thinspace\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\cdot \frac{1000\thinspace\mathrm m}{1\thinspace\mathrm{km}} \cdot \frac{1\thinspace\mathrm h}{3600\thinspace\mathrm s} = 19.5\thinspace\mathrm{m/s} $$La frase “disminuye su velocidad a razón de $3\thinspace\mathrm{m/s}$ cada segundo” la tenemos que interpretar como que su aceleración $a=-3\thinspace\mathrm{m/s^2}$ (el signo $-$ es porque su velocidad disminuye, y la velocidad la tomamos positiva).
Como no me dan información sobre tiempo ni me piden ningún tiempo (sino distancia recorrida $\Delta x$), utilizo la ecuación (3):
$$ v^2-v_0^2 = 2a\Delta x, \tag{3} $$de donde despejo la distancia recorrida $\Delta x$:
$$ \Delta x = \frac{v^2-v_0^2}{2a} = \frac{0^2-19.5^2}{2\cdot (-3)} = 63.375\thinspace\mathrm m $$Caída libre/lanzamiento vertical
La caída libre o lanzamiento vertical es un caso especial de MRUA en el que la aceleración es igual a la aceleración de la gravedad. En el caso de la Tierra, $a=-g=-9.8\thinspace\mathrm{m/s^2}$ (el signo $-$ indica que la aceleración de la gravedad apunta, siempre, hacia abajo).
¿Qué ocurre cuando una bola de bolos y una pluma se dejan caer juntas en las condiciones del espacio exterior? Brian Cox nos lo enseña en este impresionante vídeo:
¿Y cuánto vale la gravedad en otros astros del Sistema Solar?
| Astro | $g$ | $\mathrm{m/s^2}$ |
|---|---|---|
| Sol ☀️ | 28.02 | 274.8 |
| Júpiter ♃ | 2.53 | 24.8 |
| Neptuno ♆ | 1.14 | 11.2 |
| Saturno ♄ | 1.07 | 10.4 |
| Tierra ♁ | 1 | 9.8 |
| Astro | $g$ | $\mathrm{m/s^2}$ |
|---|---|---|
| Venus ♀ | 0.90 | 8.9 |
| Urano ♅ | 0.89 | 8.7 |
| Marte ♂ | 0.38 | 3.7 |
| Mercurio ☿ | 0.38 | 3.7 |
| Luna 🌙 | 0.17 | 1.6 |
Descubre a qué altura podrías saltar en otros planetas con este genial vídeo:
Ejemplo
Desde la azotea de un rascacielos de 120 m de altura se lanza una piedra con velocidad de 5 m/s, hacia abajo. Calcular: a) Tiempo que tarda en llegar al suelo, b) velocidad con que choca contra el suelo.
Escribimos la ecuación del movimiento (1) de la piedra:
$$ y(t) = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2, \tag{1} $$donde $y_0 = 120\thinspace\mathrm m$, $v_0 = -5\thinspace\mathrm{m/s}$ (hacia abajo) y $a=-g=-9.8\thinspace\mathrm{m/s^2}$, de forma que la ecuación particularizada queda:
$$ y(t) = 120 - 5t + \frac{1}{2}\cdot (-9.8)\cdot t^2 = 120-5t-4.9t^2 $$a) De la ecuación (1) podemos despejar el tiempo que tarda en llegar al suelo, sabiendo que cuando llega al suelo, $y=0$: \begin{gather*} 0 = 120 - 5t -4.9t^2 \\ 4.9t^2+5t-120=0 \\ t = \frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 4.9\cdot (-120)}}{2\cdot 4.9} = \frac{-5\pm \sqrt{2377}}{9.8} = \begin{cases} 4.5\thinspace\mathrm s \\ -5.5\thinspace\mathrm s\text{ (NO)} \end{cases} \end{gather*}
b) Para calcular la velocidad con que choca contra el suelo podemos utilizar la ecuación (2) o la (3):
- Utilizando la ecuación (2)
- Sustituyendo el tiempo por el tiempo de llegada al suelo: $$ v(t) = v_0 + at = -5-9.8t = -5-9.8\cdot 4.5 = -48.8\thinspace\mathrm{m/s} $$
- Utilizando la ecuación (3)
- Teniendo cuidado al calcular $\Delta x = x-x_0 = 0-120 = -120\thinspace\mathrm{m}$, e imponiendo el signo $-$ al despejar $v$: $$ v^2-v_0^2 = 2a\Delta x \tag{3} $$ \begin{align*} v = - \sqrt{v_0^2 + 2a\Delta x} &= - \sqrt{(-5)^2 + 2\cdot (-9.8)\cdot (0-120)} \\ &= -48.8\thinspace\mathrm{m/s} \end{align*}
Encuentros
Se trata de situaciones en las que dos cuerpos, típicamente moviéndose con un MRU o un MRUA, comienzan en posiciones distintas y acaban encontrándose al cabo de un cierto tiempo.
Seguimos estos tres pasos:
- Escribir las ecuaciones de la posición de cada cuerpo.
- Imponer la condición de encuentro, es decir, que ambas posiciones coinciden cuando se encuentran.
- Despejar la magnitud que me pidan.
Ejemplo
Un coche 🚗 se desplaza por una carretera que es paralela a la vía de un tren. El coche se detiene ante un semáforo que está con luz roja en el mismo instante que pasa un tren 🚞 con una rapidez constante de 12 m/s. El coche permanece detenido durante 6 s y luego arranca con una aceleración constante de 2 m/s2.
Determinar:
a) El tiempo que emplea el coche en alcanzar al tren, medido desde el instante en que se detuvo ante el semáforo.
b) La distancia que recorrió el coche desde el semáforo hasta que alcanzó al tren.
c) La rapidez del coche en el instante que alcanza al tren.
a) Lo primero que hacemos es escribir las ecuaciones del movimiento de cada móvil:
\begin{align*} \text{Coche (MRUA): } x_\mathrm c &= x_{0_\mathrm c} + v_{0_\mathrm c}(t-t_{0_\mathrm c})+\frac{1}{2}a_\mathrm c(t-t_{0_\mathrm c})^2 \\ \text{Tren (MRU): } x_\mathrm t &= x_{0_\mathrm t} + v_\mathrm t(t-t_{0_\mathrm t}) \end{align*}
Particularizamos para nuestro caso: \begin{gather*} x_{0_\mathrm c}=x_{0_\mathrm t}=0 \\ v_{0_\mathrm c}=0;\quad v_\mathrm t = 12\thinspace\mathrm{m/s} \\ a_\mathrm c = 2\thinspace\mathrm{m/s^2} \\ t_{0_\mathrm c}=6\thinspace\mathrm s;\quad t_{0_\mathrm t} = 0 \end{gather*}
\begin{align*} \text{Coche (MRUA): } x_\mathrm c &= 0 + 0\cdot(t-6)+\frac{1}{2}\cdot 2\cdot(t-6)^2 \\ &= (t-6)^2 = t^2-12t+36 \\ \text{Tren (MRU): } x_\mathrm t &= 0 + 12\cdot(t-0) = 12t \end{align*}
A continuación imponemos la condición de encuentro:
\begin{align*} x_\mathrm c &= x_\mathrm t \\ t^2-12t+36 &= 12t \\ t^2-24t+36 &= 0 \end{align*}
Despejamos el tiempo de encuentro $t^*$:
$$ t^* = \frac{24\pm\sqrt{24^2-4\cdot 1\cdot 36}}{2} = \frac{24\pm \sqrt{432}}{2} = \begin{cases} 22.4\thinspace\mathrm s \\\\ 1.6\thinspace\mathrm s\text{ (NO)} \end{cases} $$donde descartamos la solución $t=1.6\thinspace\mathrm s$ por ser menor que los 6 s que está parado el coche en el semáforo.
Podemos comprobar esto representando la gráfica de posición frente a tiempo ($x-t$) para cada móvil:
donde se ve claramente cómo el coche está parado los primeros 6 s para después arrancar acelerando (parábola) y alcanzando al tren a los 22.4 s.
b) Para calcular la distancia recorrida por el coche solo tenemos que sustituir el tiempo de encuentro, $t^{\*}=22.4\thinspace\mathrm s$, en su ecuación de posición, ya que comienza en $x_0 = 0$:
$$ x_{\mathrm c} (t^{\*}) = t^{\*2}-12t^{\*}+36 = 22.4^2-12\cdot 22.4 + 36 = 268.7\thinspace\mathrm m $$c) La rapidez del coche cuando alcanza al tren la podemos calcular utilizando la ecuación de la velocidad del coche, sustituyendo $t=t^\*$:
$$ v_\mathrm c(t^\*) = v_{0_\mathrm c} + a_\mathrm c (t^\*-t_0) = 0 + 2\cdot(22.4-6) = 32.8\thinspace\mathrm{m/s} $$Movimiento circular uniforme (MCU)
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Características
Las características del movimiento circular uniforme (MCU) son:
- Trayectoria circular.
- Módulo de la velocidad constante (aceleración tangencial $a_\mathrm t=0$).
Ecuación principal
La ecuación principal del MCU es:
$$ \varphi(t) = \varphi_0 + \omega (t-t_0), $$donde $\varphi$ es la posición angular final, $\varphi_0$ la posición angular inicial, $\omega$ la frecuencia o velocidad angular, $t$ el tiempo final y $t_0$ el tiempo inicial.
- Periodo $T$
- El tiempo que tarda el móvil en completar una vuelta completa se llama periodo, $T$.
- Frecuencia $f$
- El número de vueltas que da el móvil por unidad de tiempo es la frecuencia, $f$, y está relacionada con el periodo: $$ f = \frac{1}{T}\thinspace \left[\frac{1}{\mathrm{s}} = \mathrm{s^{-1}} = \mathrm{Hz}\right] $$
La frecuencia o velocidad angular, $\omega$, está relacionada con el periodo y la frecuencia a través de las expresiones:
$$ \omega = \frac{\Delta \varphi}{\Delta t} = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f $$Las magnitudes lineales y las angulares se relacionan a través del radio $R$: \begin{align*} e &= \varphi R \\ v &= \omega R \end{align*}
Aceleración centrípeta $a_\mathrm c$
También llamada aceleración normal, es una aceleración que surge del cambio de dirección de la velocidad. Su módulo es igual a:
$$ a_\mathrm c = \frac{v^2}{R} = \omega^2 R $$y siempre se dirige hacia el centro de la circunferencia.
Ejemplo
Las aspas de un ventilador giran uniformemente a razón de 90 vueltas por minuto (rpm). Determina: a) su velocidad angular, en rad/s; b) la velocidad lineal de un punto situado a 30 cm del centro; c) el número de vueltas que darán las aspas en 5 min.
a) Utilizamos factores de conversión:
$$ \omega = 90\thinspace\mathrm{rpm} = 90\thinspace\frac{\mathrm{rev}}{\mathrm{min}} \cdot \frac{2\pi\thinspace\mathrm{rad}}{1\thinspace\mathrm{rev}} \cdot \frac{1\thinspace\mathrm{min}}{60\thinspace\mathrm{s}} = 3\pi\thinspace\mathrm{rad/s} \approx 9.4\thinspace\mathrm{rad/s} $$b) Utilizamos la relación entre las velocidades lineal y angular, con $R=30\thinspace\mathrm{cm} = 0.3\thinspace\mathrm{m}$:
$$ v = \omega R = 3\pi\thinspace\mathrm{rad/s}\cdot 0.3\thinspace\mathrm{m} = 0.9\pi\thinspace\mathrm{m/s} \approx 2.8\thinspace\mathrm{m/s} $$c) Escribimos la ecuación del movimiento de las aspas:
$$ \varphi(t) = \varphi_0 + \omega (t-t_0), $$donde $\varphi_0 = 0$, $\omega = 90\thinspace\mathrm{rpm}$ y $t_0 = 0$, es decir:
$$ \varphi(t) = 90t\thinspace[\mathrm{rev}] $$Sustituyendo el tiempo por $t=5\thinspace\mathrm{min}$, obtenemos el espacio angular en vueltas (rev):
$$ \varphi(5\thinspace\mathrm{min}) = 90\thinspace\mathrm{rev/min}\cdot 5\thinspace\mathrm{min} = 450\thinspace\mathrm{rev} $$Exportar a PDF
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