El movimiento

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Definiciones

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Sistema de referencia

Conjunto de puntos respecto de los cuales definimos las posiciones.

Posición

Lugar que ocupa un cuerpo en el espacio.

Trayectoria

Línea imaginaria formada por el conjunto de puntos por los que pasa un cuerpo al moverse.

Espacio recorrido

Longitud del camino que realiza el móvil medido sobre la trayectoria.

Desplazamiento

Diferencia entre las posiciones final e inicial.

La siguiente figura muestra la diferencia entre espacio recorrido y desplazamiento:

Concepto de velocidad

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Velocidad media

La velocidad media de un cuerpo es la relación entre el espacio recorrido y el tiempo invertido: $$ v_\text{m} = \frac{\Delta x}{\Delta t}, $$ siendo $\Delta x$ el espacio recorrido y $\Delta t$ el tiempo transcurrido.

Velocidad instantánea

Es la velocidad que tiene un móvil en un determinado instante de tiempo. Se puede entender como el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.

Movimiento rectilíneo uniforme (MRU)

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Características

Las características del movimiento rectilíneo uniforme (MRU) son:

  • Trayectoria rectilínea.
  • Velocidad $v$ constante (aceleración $a=0$).

Ecuación principal

La ecuación principal del MRU es:

$$ x(t) = x_0 + v\cdot\Delta t, $$

donde $x$ y $x_0$ son las posiciones final e inicial, respectivamente; $v$ la velocidad y $\Delta t$ el tiempo transcurrido.

Concepto de aceleración

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La aceleración, $a$, mide cómo cambia la velocidad de un móvil respecto al tiempo: $$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v-v_0}{\Delta t} \Rightarrow v = v_0 + a\cdot \Delta t, $$ donde $v$ y $v_0$ son las velocidades final e inicial, respectivamente; y $\Delta t$ es el tiempo transcurrido. En el SI se mide en m/s2.

Ejemplo resuelto

Un F1 🏎️ es capaz de acelerar de 0 a 300$\thinspace$km/h en 10.6$\thinspace$s.
a) ¿Cuál es su aceleración?
b) ¿Qué velocidad lleva a los 5$\thinspace$s?

a) Lo primero pasamos la velocidad a m/s:

$$ v = 300\thinspace\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\cdot \frac{1000\thinspace\mathrm m}{\thinspace\mathrm{km}} \cdot \frac{1\thinspace\mathrm h}{3600\thinspace\mathrm s} = 83.\overline{3}\thinspace\mathrm{m/s} $$

Calculamos la aceleración con la expresión:

$$ a = \frac{v-v_0}{\Delta t}, $$

donde $v = 83.\overline{3}\thinspace\mathrm{m/s}$, $v_0 = 0$ y $\Delta t = 10.6\thinspace\mathrm{s}$. Sustituyendo:

$$ a = \frac{83.\overline{3}\thinspace\mathrm{m/s} - 0}{10.6\thinspace\mathrm{s}} = 7.86\thinspace\mathrm{m/s^2} $$

b) Para calcular qué velocidad tiene a los 5$\thinspace$s utilizamos la expresión:

$$ v = v_0 + a\cdot \Delta t, $$

con $v_0 = 0$, $a = 7.86\thinspace\mathrm{m/s^2}$ y $\Delta t = 5\thinspace\mathrm s$. Sustituyendo:

\begin{align*} v = 0 + 7.86\thinspace\mathrm{m/s^2}\cdot 5\thinspace\mathrm s &= 39.3\thinspace\mathrm{m/s} \\
&= 141.5\thinspace\mathrm{km/h} \end{align*}

Gráficas

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Movimiento uniforme

Movimiento acelerado

Encuentros

Se trata de situaciones en las que dos cuerpos comienzan en posiciones distintas y acaban encontrándose al cabo de un cierto tiempo.

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Seguimos estos tres pasos:

  1. Escribir las ecuaciones de la posición de cada cuerpo.
  2. Imponer la condición de encuentro, es decir, que ambas posiciones coinciden cuando se encuentran.
  3. Despejar la magnitud que me pidan.

Ejemplo resuelto

Un coche 🚗 y una moto 🏍️ salen uno hacia el otro desde dos ciudades que distan 200$\thinspace$km, con velocidades de 70$\thinspace$km/h y 90$\thinspace$km/h, respectivamente. Calcula:
a) ¿Cuánto tiempo tardarán en encontrarse?
b) ¿Qué distancia ha recorrido cada uno de ellos?

El siguiente esquema representa la situación que tenemos:

a) Lo primero que hacemos es escribir las ecuaciones del movimiento de cada móvil: \begin{align*} \text{Coche (MRU): } x_\mathrm c &= x_{0_\mathrm c} + v_\mathrm c\cdot t \\
\text{Moto (MRU): } x_\mathrm m &= x_{0_\mathrm m} + v_\mathrm m\cdot t \end{align*}

Particularizamos para nuestro caso, tomando el origen donde empieza el coche y sentido positivo hacia la derecha: \begin{gather*} x_{0_\mathrm c}=0;\quad x_{0_\mathrm m}=200\thinspace\mathrm{km} \\
v_\mathrm c=70\thinspace\mathrm{km/h};\quad v_\mathrm m = -90\thinspace\mathrm{km/h} \end{gather*}

\begin{align*} \text{Coche (MRU): } x_\mathrm c &= 0 + 70 t = 70t \\
\text{Moto (MRU): } x_\mathrm m &= 200 - 90t \end{align*}

A continuación imponemos la condición de encuentro: \begin{align*} x_\mathrm c &= x_\mathrm m \\
70t &= 200-90t \\
160 t &= 200 \end{align*}

Despejamos el tiempo de encuentro $t^*$:

$$ t^* = \frac{200\thinspace\mathrm{km}}{160\thinspace\mathrm{km/h}} = 1.25\thinspace\mathrm{h} $$

Podemos comprobar esto representando la gráfica de posición frente a tiempo ($x-t$) para cada móvil:

donde se ve claramente cómo el coche y la moto se encuentran para $t^* = 1.25\thinspace\mathrm{h}$.

b) Para calcular la distancia recorrida por cada uno de ellos, sustituimos el tiempo de encuentro, $t^*=1.25\thinspace\mathrm{h}$, en las ecuaciones de posición del coche y de la moto, teniendo en cuenta las posiciones iniciales de cada uno de ellos:

\begin{align*} \Delta x_\mathrm c (t^*) &= x_\mathrm c (t^*) - x_{0_\mathrm c} = 70\cdot 1.25 = 87.5\thinspace\mathrm{km} \\
\Delta x_\mathrm m (t^*) &= x_\mathrm m (t^*) - x_{0_\mathrm m} = 200-90\cdot 1.25 - 200 \\
&= -112.5\thinspace\mathrm{km} \end{align*}

donde el signo $-$ indica que la moto ha recorrido esa distancia hacia la izquierda.