Movimiento parabólico

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Índice

El movimiento parabólico surge de la composición de:

  • Un MRU horizontal con velocidad $\vec v_x = v_x \hat{\imath}$ constante.
  • Un MRUV vertical con velocidad inicial $\vec v_{0y} = v_{0y} \hat{\jmath}$ hacia arriba. La aceleración $\vec g=-g\hat{\jmath}$ apunta hacia abajo.

Como el proyectil se lanza desde una altura $h$, su posición inicial viene dada por:

$$ \newcommand{\ihat}{\hat{\imath}} \newcommand{\jhat}{\hat{\jmath}} \vec r_0 = x_0\ihat + y_0\jhat = 0+h\jhat = h\jhat $$

Las componentes del vector velocidad inicial $\vec v_0$ están relacionadas con el ángulo $\alpha_0$, a través de su tangente: $$ \tan \alpha_0 = \frac{v_{0y}}{v_x} $$

Componentes de la velocidad

En cualquier momento, las componentes de la velocidad $\vec v$ son: \begin{align*} \vec v_x &= (v\cos\alpha)\ihat \\
\vec v_y &= (v\sin\alpha)\jhat \end{align*}

Según el teorema de Pitágoras: $$ v = \lvert\vec v\rvert = \sqrt{v_x^2+v_y^2} $$

Ecuaciones del movimiento

Para obtener las ecuaciones del movimiento, separamos el movimiento del proyectil en sus dos componentes, $x$ (horizontal) e $y$ (vertical):

Componente $x$
En la dirección horizontal el proyectil describe un MRU, por lo que su ecuación del movimiento vendrá dada por: $$ x(t) = x_0 + v_x t = 0 + v_0\cos\alpha_0\cdot t = v_0\cos\alpha_0\cdot t $$
Componente $y$
En la dirección vertical el proyectil describe un MRUV ($\vec g=-g\jhat$), por lo que su ecuación del movimiento vendrá dada por: $$ y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{1}{2}at^2 = h + v_0\sin\alpha_0\cdot t -\frac{1}{2}gt^2 $$

Ecuaciones vectoriales

MagnitudEcuación vectorial
Posición$\vec r(t) = (v_0\cos\alpha_0\cdot t) \ihat + \left(h+v_0\sin\alpha_0\cdot t -\frac{1}{2}gt^2\right)\jhat$
Velocidad$\vec v(t) = (v_0\cos\alpha_0)\ihat + (v_0\sin\alpha_0-gt\jhat$
Aceleración$\vec a(t) = 0 -g\jhat = -g\jhat$

Ecuación de la trayectoria

Eliminando el tiempo $t$ se obtiene la ecuación de una parábola:

$$ y = h + x\tan\alpha_0 - \frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha_0} $$

Tiempo de vuelo

El tiempo de vuelo $t_\text{vuelo}$ es el tiempo total que el móvil permanece en el aire.

Se obtiene imponiendo $y(t_\text{vuelo})=0$ y despejando el tiempo $$ 0 = h+v_0\sin\alpha_0\cdot t_\text{vuelo} - \frac{1}{2}gt_\text{vuelo}^2 $$

Despejando $t_\text{vuelo}$: $$ t_\text{vuelo} = \frac{v_0\sin\alpha_0\pm\sqrt{v_0^2\sin^2\alpha_0+2gh}}{g}, $$ donde nos quedamos únicamente con la opción positiva ($+$).

¿Y si lanzamos el proyectil desde el suelo?

No tenemos más que imponer $h=0$ en la anterior expresión, para llegar a:

$$ t_\text{vuelo} = \frac{2v_0\sin\alpha_0}{g} $$

Alcance

El alcance es la distancia horizontal que recorre el móvil, siendo máximo para un ángulo $\alpha_0 = 45^\circ$, y teniendo el mismo valor para $\alpha_0 = 45^\circ+a$ que para $\alpha_0 = 45^\circ-a$. Se obtiene sustituyendo en la ecuación de la coordenada $x$ la expresión del tiempo de vuelo, es decir alcance $ = x(t_\text{vuelo})$.

¿Y si lanzamos el proyectil desde el suelo?

Utilizando la expresión del tiempo de vuelo para el caso $h=0$, tenemos

\begin{align*} x(t_\text{vuelo}) = v_0\cos\alpha_0\cdot t_\text{vuelo} &= v_0\cos\alpha_0\cdot \frac{2v_0\sin\alpha_0}{g} \\
& = \frac{v_0^2\sin(2\alpha_0)}{g} \end{align*}

Altura máxima

La altura máxima $y_\text{máx}$ se alcanza cuando: $$ v_y(t) = v_0\sin\alpha_0-gt = 0 $$

Despejando el tiempo $t=v_0\sin\alpha_0/g$ y sustituyendo en $y(t)$: $$ y_\text{máx} = h+v_0\sin\alpha_0\cdot \frac{v_0\sin\alpha_0}{g}-\frac{1}{2}g\left(\frac{v_0\sin\alpha_0}{g}\right)^2 = h+\frac{v_0^2\sin^2\alpha_0}{2g}, $$

obteniéndose su valor máximo para $\alpha_0 = 90^\circ$ (lanzamiento vertical).

Ángulo de la trayectoria

El ángulo de la trayectoria en un determinado punto coincide con el ángulo que el vector velocidad $\vec v$ forma con la horizontal en ese punto. Para su cálculo obtenemos las componentes $\vec v_x$ y $\vec v_y$ y gracias a la definición trigonométrica de tangente de un ángulo, calculamos $\alpha$: $$ \tan \alpha = \frac{v_y}{v_x} \Rightarrow \alpha = \arctan\left(\frac{v_y}{v_x}\right) $$

Ejemplo

Desde una ventana de una casa que está a $15\thinspace\mathrm{m}$ de altura lanzamos un chorro de agua a $20\thinspace\mathrm{m/s}$ con un ángulo de $40^\circ$. Calcula la distancia a la que caerá el agua y la velocidad con la que llega.

Lo primero hacemos un dibujo representando la situación:

Vamos a escribir las ecuaciones del movimiento, por componentes: \begin{align*} \text{Componente $x$}\rightarrow x(t) &= x_0 + v_x t = 0 + v_0\cos\alpha_0 \cdot t = \left(20\cos 40^\circ\cdot t\right)\thinspace\mathrm{m} \\
\text{Componente $y$}\rightarrow y(t) &= y_0 + v_{0y}t + \frac{1}{2}at^2 = h + v_0\sin\alpha_0\cdot t -\frac{1}{2}gt^2 \\
&= \left(15 + 20\sin40^\circ\cdot t - 4.9t^2\right)\thinspace\mathrm{m} \end{align*}

Lo primero que nos piden es la distancia a la que caerá el agua, o lo que es lo mismo, el alcance. Para ello necesitamos calcular primero el tiempo de vuelo $t_\text{vuelo}$, por lo que imponemos $y\left(t_\text{vuelo}\right)=0$: $$ 0 = 15 + 20\sin40^\circ\cdot t_\text{vuelo} - 4.9t_\text{vuelo}^2 $$

Despejamos el tiempo de vuelo $t_\text{vuelo}$ (notar que únicamente nos quedamos con la opción positiva): $$ t_\text{vuelo} = \frac{20\sin40^\circ\pm\sqrt{20^2\sin^240^\circ+294}}{9.8} = \begin{cases} 3.5\thinspace\mathrm s \\
-0.9\thinspace\mathrm s\text{ (NO)} \end{cases} $$

Sustituyendo el tiempo de vuelo en la coordenada $x$ obtenemos el alcance:

$$ \text{alcance} = x\left(t_\text{vuelo}\right) = 20\cos40^\circ\cdot t_\text{vuelo} = 20\cos40^\circ\cdot 3.5 = 53.6\thinspace\mathrm m $$

Para calcular la velocidad con la que llega al suelo, escribimos primero la ecuación de la velocidad: $$ \begin{split} \vec v(t) = v_x\ihat + v_y(t)\jhat &= \left(v_0\cos\alpha_0\right)\ihat + \left(v_0\sin\alpha_0 - gt\right)\jhat \\
&= \left[\left(20\cos 40^\circ\right)\ihat + \left(20\sin 40^\circ-9.8t\right)\jhat\right]\thinspace\mathrm{m/s} \end{split} $$

Sustituyendo el tiempo de vuelo obtenemos la velocidad con la que llega al suelo, $\vec v(t_\text{vuelo})$: $$ \begin{split} \vec v(t_\text{vuelo}) &= \left(20\cos 40^\circ\right)\ihat + \left(20\sin 40^\circ-9.8\cdot t_\text{vuelo}\right)\jhat \\
&= 15.3\ihat + \left(20\sin 40^\circ-9.8\cdot 3.5\right)\jhat = \left(15.3\ihat - 21.4\jhat\right)\thinspace\mathrm{m/s} \end{split} $$

siendo el módulo $v = \lvert\vec v\rvert = \sqrt{15.3^2 + (-21.4)^2} = 26.3\thinspace\mathrm{m/s}$ (teorema de Pitágoras).

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