MAS

Índice

El movimiento armónico simple (MAS) es un tipo especial de movimiento periódico en el que la fuerza restauradora (elástica) sobre el objeto en movimiento es directamente proporcional a la magnitud del desplazamiento del objeto y actúa hacia su posición de equilibrio. El resultado es una oscilación que continúa indefinidamente salvo que sea inhibida por fricción o cualquier otra disipación de energía. Puede considerarse la proyección unidimensional del movimiento circular uniforme (MCU).

Son ejemplos de MAS el movimiento de una masa unida a un muelle, un péndulo simple o un yugo escocés:

Magnitudes

Amplitud A

Máxima elongación (desplazamiento máximo de la posición de equilibrio). En el SI se mide en m.

Periodo T

Tiempo empleado en completar una oscilación completa. En el SI se mide en s.

Frecuencia f

Número de oscilaciones por unidad de tiempo: $f = 1/T$. En el SI se mide en Hz.

Frecuencia angular ω

$$ \omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi f $$

En el SI se mide en rad/s.

Fase inicial

Indica el estado de oscilación/vibración inicial. Se denota por $\varphi_0$. En el SI se mide en rad.

Ecuaciones

Posición

Velocidad

Aceleración

Dinámica del MAS

Ley de Hooke

Aplicando la 2ª ley de Newton a una masa $m$ unida a un extremo de un muelle (resorte) de constante elástica $k$ (obviamos el carácter vectorial al ocurrir todo en una única dimensión): \begin{align*} F &= ma \\ -kx &= ma \\ -kx &= -m\omega^2x \end{align*} de donde

$$ k = m\omega^2 $$

La frecuencia angular, $\omega$, puede calcularse por tanto como:

$$ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} $$

El periodo, $T$, o la frecuencia, $f$, con la que oscila una masa $m$ unida a un extremo de un resorte de constante elástica $k$ pueden por tanto escribirse como:

$$ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}};\quad f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} $$

Puedes aprender más sobre masas y resortes con este excelente laboratorio:

Péndulo simple

Consiste en una masa suspendida de un pivote de forma que puede oscilar libremente.

En este caso la componente tangencial del peso actúa como fuerza recuperadora, acelerando la masa hacia su posición de equilibrio, provocando la oscilación alrededor de ella: \begin{align*} -mg\sin\theta &= ma \\ -g\sin\theta &= -\omega^2x \\ -g\sin\theta &= -\omega^2l\theta \end{align*}

• En la aproximación para ángulos pequeños, $\sin\theta\approx\theta$, por lo que el movimiento se aproxima por un movimiento armónico simple de frecuencia angular: $$ \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} $$
• El tiempo que tarda la masa en completar una oscilación completa es el periodo, que únicamente depende de la longitud del péndulo y de la aceleración de la gravedad, a través de la expresión: $$ T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} $$
• Fuera de la aproximación para ángulos pequeños, el periodo de un péndulo también depende ligeramente de la amplitud de la oscilación.

Puedes estudiar los factores que influyen en el periodo de un péndulo con este excelente laboratorio:

Energía del MAS

Energía potencial elástica

Como la fuerza elástica es conservativa, definimos la energía potencial asociada:

$$ E_\mathrm p = \frac{1}{2}kx^2,\quad \text{donde $k=m\omega^2$} $$

Sustituyendo la expresión de la posición, $x = A\sin\left(\omega t + \varphi_0\right)$:

$$ E_\mathrm p = \frac{1}{2}kA^2\sin^2\left(\omega t + \varphi_0\right) $$

Energía cinética

La energía cinética viene dada por la expresión:

$$ E_\mathrm c = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\omega^2\left(A^2-x^2\right) = \frac{1}{2}k\left(A^2-x^2\right) $$

Sustituyendo la expresión de la velocidad, $v = A\omega\cos\left(\omega t + \varphi_0\right)$:

$$ E_\mathrm c = \frac{1}{2}mA^2\omega^2\cos^2\left(\omega t + \varphi_0\right) = \frac{1}{2}kA^2\cos^2\left(\omega t + \varphi_0\right) $$

Energía mecánica

En ausencia de rozamiento y otras pérdidas de energía, la energía mecánica total es constante:

$$ E_\mathrm m = E_\mathrm c + E_\mathrm p = \frac{1}{2}k\left(A^2-x^2\right) + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2 $$

Puedes aprender más sobre la energía del MAS con este excelente 🧵 hilo de Rayleigh Lord sobre el oscilador armónico simple: